年理科数学

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年理科数学篇一：2013年高考理科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

(全国新课标卷I)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A＝{x|x－2x＞0}，B＝{x|

x

，则( )．

A．A∩B＝B．A∪B＝R C．B?A D．A?B

2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )． 2

44

A．－4B．5C．4D．5 -

3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．

A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样

x2y24．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C2-2=1(a＞0，b＞0)

ab则C的渐近线方程为( )．

111±xx±x

A．y＝4B．y＝3 C．y＝2D．y＝±x ±

5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出

的s属于( )．

A．[－3,4]

B．[－5,2]

C．[－4,3]

D．[－2,5]

6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．

500π866π

A．3cm3 B．3cm3

1372π2048π

C．3cm3 D．3cm3

7．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )．

A．3B．4C．5D．6

8．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该

几何体的体积为( )．

A．16＋8π

B．8＋8π

C．16＋16π

D．8＋16π

9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m为正整数，(x＋y)展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)

的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝( )．

A．5B．6C．7D．8 2m2m＋1展开式

x2y2

10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E：2+2=1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交Eab

于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )．

x2y2x2y2x2y2x2y2

+=1+=1+=1+=1

A．4536B．3627 C．2718D．189

?-x2+2x，x≤0，11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f(x)＝?若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )．

?ln(x+1)，x>0.

A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2,1]D．[－2,0]

12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝cn+anb+an，cn＋1＝n，则( )． 22

A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列

C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b2c＝0，则t＝__________.

14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和

15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.

16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________． Sn=21an+33，则{an}的通项公式是an＝_______.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB

BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.

(1)若PB＝1，求PA； 2

(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA

.

18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.

(1)证明：AB⊥A1C；

(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．

19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．

假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为1，且各件产品是否为优质品相2

互独立．

(1)求这批产品通过检验的概率；

(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．

20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)＋y＝1，圆N：(x－1)＋y＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

2x21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x＋ax＋b，g(x)＝e(cx＋d)．若曲线y

＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.

(1)求a，b，c，d的值；

(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围． 2222

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.

(1)证明：DB＝DC；

(2)设圆的半径为1，BC

CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．

23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

?x=4+5cost,已知曲线C1的参数方程为?(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐y=5+5sint?

标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.

(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；

(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．

年理科数学篇二：2017年高考真题理科数学(全国Ⅲ卷) 含答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）

理科数学

（试题及答案解析）

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）

22

1．已知集合A=(x,y)x+y=1，B={(x,y)y=x}，则A B中元素的个数为（）

{}

A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B

【解析】A表示圆x2+y2=1上所有点的集合，B表示直线y=x上所有点的集合，

故A B表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A B元素的个数为2，故选B.

2．设复数z满足(1+i)z=2i，则z=（） 1A．

2

【答案】C

B

C

D．2

【解析】由题，z=

2i(1-i)2i2i+2===i+1，则zC. 1+i1+i1-

i2

3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

2014年 2015年 2016年

根据该折线图，下列结论错误的是（） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A

【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误，故选A.

4．(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为（）

A．-80 B．-40 C．40 D．80 【答案】C

【解析】由二项式定理可得，原式展开中含x3y3的项为

23x?C5(2x)(-y)+y?C5(2x)(-y)=40x3y3，则x3y3的系数为40，故选C.

2

3

3

2

x2y25．已知双曲线C2-2=1（a>0，b>

0）的一条渐近线方程为y=，且与椭圆

ab

x2y2

+=1有公共焦点．则C的方程为（） 123

x2y2x2y2x2y2x2y2

A．-B．-C．-D．-=1 =1 =1 =1

810455443

【答案】B

b，则=【解析】∵

双曲线的一条渐近线方程为y=

ax2y2

=1与双曲线有公共焦点，易知c=3，则a2+b2=c2=9② 又∵椭圆+

123

x2y2

=1，故选B. 由①②

解得a=2,b=C的方程为-

45

π

6．设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是（）

3

A．f(x)的一个周期为-2π C．f(x+π)的一个零点为x=【答案】D

?

【解析】函数f(x)=cos x+

?

π 6

B．y=f(x)的图像关于直线x=

π

D．f(x)在(,π)单调递减

2

8π

对称 3

π?π

?的图象可由y=cosx向左平移个单位得到， 3?3

?π?

如图可知，f(x)在 ,π?上先递减后递增，D选项错误，故选D.

?2?

7．执行右图的程序框图，为使输出S的值小于，则输入的正整数N的最小值为（）

A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D

【解析】程序运行过程如下表所示：

SM

0 100 1 初始状态

-10 100 2 第1次循环结束

90 1 3 第2次循环结束

此时S=90<91首次满足条件，程序需在t=3时跳出循环，即N=2为满足条件的最小值，故选D.

8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）

3πππ

A．π B． C．

D．

4２4

【答案】B

【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径r=，

3π2

则圆柱体体积V=πrh=，故选B.

4

9．等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（）

A．-24 B．-3 C．3 D．8 【答案】A

【解析】∵{an}为等差数列，且a2,a3,a6成等比数列，设公差为.

2

=a2?a6，即(a1+2d)=(a1+d)(a1+5d) 则a3

2

又∵a1=1，代入上式可得d2+2d=0 又∵d≠0，则d=-2

6?56?5

d=1?6+?(-2)=-24，故选A.

∴S6=6a1+22

x2y2

10．已知椭圆C:2+2=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径

ab

的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）

1B

C

D．

3【答案】A

【解析】∵以A1A2为直径为圆与直线bx-ay+2ab=0相切，∴圆心到直线距离等于半径，

d==a ∴又∵a>0,b>0，则上式可化简为a2=3b2

A

∵b=a-c，可得a=3a-c

2

2

2

2

(

22

)

c22，即2=

a3

∴e=

c=A a

11．已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点，则a=（）

111A．- B． C．

２32

【答案】C

【解析】由条件，f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)，得：

f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a(e2-x-1+e-(2-x)+1)

=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)

D．1

=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)

∴f(2-x)=f(x)，即x=1为f(x)的对称轴， 由题意，f(x)有唯一零点， ∴f(x)的零点只能为x=1，

即f(1)=12-2?1+a(e1-1+e-1+1)=0，

解得a=

1． 2

12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若

AP=λAB+μAD，则λ+μ的最大值为（） A．3 B

． C

【答案】A

【解析】由题意，画出右图．

设BD与 C切于点E，连接CE． 以A为原点，AD为轴正半轴， AB为轴正半轴建立直角坐标系， 则C点坐标为(2,1)． ∵|CD|=1，|BC|=2．

∴BD ∵BD切 C于点E． ∴CE⊥BD．

∴CE是Rt△BCD中斜边BD上的高．

1

2??|BC|?|CD|

2S|EC|=△BCD===|BD||BD| 即

C∵P在 C上．

4

(x-2)2+(y-1)2=y5． ∴P点的轨迹方程为

设P点坐标(x0,y0)，可以设出P点坐标满足

D．2

Pg

C

B的参数方程如下：

?

x=2θ0???

?y=1θA(O)0??

而AP=(x0,y0)，AB=(0,1)，AD=(2,0)．

∵AP=λAB+μAD=λ(0,1)+μ(2,0)=(2μ,λ)

1θ． x0=1+

θ，λ=y0=12两式相加得：

E

D

x

∴μ=

λ+μ=1θ+1+θθ+?)=2+sin(θ+?)≤

3=2(其中sin?=当且仅当θ=

，cos?=

π

+2kπ-?，k∈Z时，λ+μ取得最大值3． 2

年理科数学篇三：14年高考真题——理科数学(新课标I卷)

2014年普通高等学校招生全国统一考试新课标I卷

数学（理科）

一．选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A=x|x2-2x-3≥0，B={x|-2≤x<2}，则A{}B=()

（A）[-2,-1] （B）[-1,2) （C）[-1,1] （D）[1,2)

(1+i)2．21-i()3=()（A）1+i （B）1-i （C）-1+i （D）-1-i

3．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列

结论正确的是() （A）f(x)g(x)是偶函数 （B）|f(x)|g(x)是奇函数

（C）f(x)|g(x)|是奇函数 （D）|f(x)g(x)|是奇函数

4．已知F是双曲线C：x-my=3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线22

的距离为（） （A

（B）3 （C

（D）3m

5．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参

1357 （B） （C） （D） 8888

6．如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，

角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，加公益活动的概率() （A）

垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)，则

y=f(x)在[0,π]上的图像大致为( )

7．执行下图的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3，则输出的M=（）

（A）2016715 （B） （C） （D） 3528

8．设α∈ 0,1+sinβ?π??π?tanα=，，且，则（ ） β∈0,? ?cosβ?2??2?3α-β=（A）π

23α+β=（B）π

2 （C）2α-β=π

2 （D）2α+β=π

2

?x+y≥19．不等式组?的解集记为D，有下面四个命题：p1： ?(x,y)∈D,x+2y≥-2，x-2y≤4?

p2：?(x,y)∈D,x+2y≥2，p3：?(x,y)∈D,x+2y≤3，p4：?(x,y)∈D,x+2y≤-1。

其中真命题是 () （A）p2和p3 （B）p1和p4 （C）p1和p2（D）p1和p3

10．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个焦点，若FP=4FQ，则|QF|= ( )（A）72（B）52 （C）3 （D）2

11．已知函数f(x)=ax3-3x2+1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围为（）

（A）(2,+∞) （B）(-∞,-2) （C）(1,+∞) （D）(-∞,-1)

12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某

多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为()

（A

）（B

）（C）6 （D）4

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

27 13．(x-y)(x+y)的展开式中xy的系数为______。（用数字填写答案） 8

14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市。由此可判断乙去过的城市为________。

15．已知A,B,C是圆O上三点，若AO=1AB+AC，则AB与AC的夹角为______。 2()

16．已知a,b,c分别为?ABC的三个内角A,B,C的对边，a=2，且

(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC，则?ABC面积的最大值为______。

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn-1，其中λ为常数。⑴证明：an+2-an=λ；⑵是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由。

18．（本小题满分12分）从某企业

的某种产品中抽取500件，测量这些产

品的一项质量指标值，由测量结果得如

下频率分布直方图。⑴求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差

s2（同一组数据用该区间的中点值作代

表）；⑵由频率分布直方图可以认为，这

种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,δ2)，其中μ近似为样本平均数x，δ近似为样本方差s2。①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求EX。

≈12.2。若Z2N(μ,δ2)，则

P(μ-δ<Z<μ+δ)=0.6826，P(μ-2δ<Z<μ+2δ)=0.9544）

19．（本小题满分12分）如图三棱锥

侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C。ABC-A1B1C1中，

⑴证明：AC=AB1；⑵若AC⊥AB1，∠CBB1=600，

AB=BC，求二面角A-A1B1-C1的余弦值。

x2y2

20．（本小题满分12分) 已知点A(0,-2)，椭圆E：2+2=1(a>b>

0)的离心率为ab

F是椭圆的焦点，直线AF

O为坐标原点。⑴求E的方程；⑵设过点A的直线l与E相交于P,Q两点，当?OPQ的面积最大时，求l的方程。

bex-1

21．（本小题满分12分）设函数f(x)=aelnx+，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处xx

的切线为y=e(x-1)+2。⑴求a,b；⑵证明：f(x)>1。

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则

按所做的第一部分，做答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）如图，四边形ABCD是⊙O的

内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且

CB=CE。⑴证明：∠D=∠E；⑵设AD不是⊙O

的直径，

AD的中点为M，且MB=MC，证明：?ADE为等边三角形。

?x=2+tx2y2

+=1，直线l：? 23．（本小题满分10分）已知曲线C：（t为参数）。49?y=2-2t

⑴写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；⑵过曲线C上任一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值。

24．（本小题满分10分）若a>0,b>

0，且

否存在a,b，使得2a+3b=6？并说明理由。

011+=。⑴求a3+b3的最小值；⑵是ab

2014年普通高校招生全国统考数学试卷新课标I卷解答

一．ADCAD CDCBB CB

二．13．-20；14．A；15．90；16

17．解：⑴由题anan+1=λSn-1，an+1an+2=λSn+1-1，故an+1(an+2-an)=λan+1。因0an+1≠0，故an+2-an=λ；

⑵由题1?a2=λ?1-1，故a2=λ-1。由⑴得a3=1+λ，令2a2=a1+a3，解得λ=4。故an+2-an=4，由此可得{a2n-1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n-1=4n-3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n-1=4n-1。所以an=2n-1，an+1-an=2。因此存在λ=4，使得数列{an}为等差数列。

18．解：⑴抽取产品的质量指标值的样本平均数x=170?0.02+180?0.09+190?0.22+ 200?0.33+210?0.24+220?0.08+230?0.02=200，样本方差s2=(-30)?0.02+ 2

(-20)2?0.09+(-10)?0.22+0?0.33+102?0.24+202?0.08+302?0.02=150； 2

⑵①由⑴知ZN(200,150)，故P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<

200+12.2)=0.6826；②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826，依题知XB(100,0.6826)，故EX=100?0.6826=68.26。

19．解：⑴连接BC1时，交B1C于O，连接AO。因侧面BB1C1C为菱形，故B1C⊥BC1，且O为B1C及BC1的中点。又AB⊥B1C，故B1C⊥平面ABO。由于AO?平面ABO，故B1C⊥AO。又B1O=CO，故AC=AB1；

⑵因AC⊥AB1，且O为B1C的中点，故A1AO=CO。又AB=BC，故?BOA??BOC，得OA⊥OB，从而OA,OB,OB1两两互相垂直。以O为原点，OB的方向为x轴正方向，|OB|为

单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz。因∠CBB1=600，故?CBB1为正三角形。又AB=

BC，故A，

??????B

(1,0,0)，B1 ??，C 0,??，AB1= ，A1B1= 1,0,，

??

??

??

??

()

????n?AB1=0B1C1=BC= -1,-。设是平面的法向量，则，即AABn=(x,y,z)??11 ?3????

n?A1B1=0

?=0?m?B1C1=0n=，故可取。设是平面的法向量，则，

mABC?111???

3x=0?m?A1B1=0(同理可取m=1,。故cosm,n=(1

m?n1=。所以所求二面角的余弦值为。 7|m||n|7

20．解：⑴设F(c,0)，

由题c2b2=a2-c2=1。故c=又=，故a=2，=ac

x2

+y2=1； 从而E的方程为4

⑵显然直线l的斜率存在，故可设l：y=kx-2，P(x1,y1)，Q(x2,y2)。将y=kx-2

2222代入E的方程可得1+4kx-16kx+12=0。当?=164

k-3>0即k>4时，()()

|PQ|=x

1-x2|=。又点O到直线x1,2

=

PQ

的距离d=

，故S?OPQ1=t>

0，则=d?|PQ|

=2