数学度量
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数学度量篇一：相似性度量
在做分类时常常需要估算不同样本之间的相似性度量(SimilarityMeasurement)，这时通常采用的方法就是计算样本间的“距离”(Distance)。采用什么样的方法计算距离是很讲究，甚至关系到分类的正确与否。对常用的相似性度量作一个总结。1.欧氏距离2.曼哈顿距离3. 切比雪夫距离4. 闵可夫斯基距离5.标准化欧氏距离6.马氏距离7.夹角余弦8.汉明距离9.杰卡德距离&杰卡德相似系数10.相关系数&相关距离11.信息熵 12.兰氏距离 13.斜交空间距离 14.最大-最小相似度 15.指数相似度
16.KL距离
1. 欧氏距离(EuclideanDistance)
欧氏距离是最易于理解的一种距离计算方法，源自欧氏空间中两点间的距离公式。
(1) 二维平面上两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的欧氏距离：
三维空间两点a(x1,y1,z1)与b(x2,y2,z2)间的欧氏距离：
(2) 两个n维向量a(x11,x12,?,x1n)与 b(x21,x22,?,x2n)间的欧氏距离：
也可以用表示成向量运算的形式：
(4)Matlab计算欧氏距离
Matlab计算距离主要使用pdist函数。若X是一个M×N的矩阵，则pdist(X)将X矩阵M行的每一行作为一个N维向量，然后计算这M个向量两两间的距离。
例子：计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的欧式距离
X= [0 0 ; 1 0 ; 0 2]
D= pdist(X,'euclidean')
结果：
D=
1.00002.0000 2.2361
2. 曼哈顿距离(ManhattanDistance)又称绝对值距离
从名字就可以猜出这种距离的计算方法了。想象你在曼哈顿要从一个十字路口开车到另外一个十字路口，驾驶距离是两点间的直线距离吗？显然不是，除非你能穿越大楼。实际驾驶距离就是这个“曼哈顿距离”。而这也是曼哈顿距离名称的来源，曼哈顿距离也称为城市街区距离(CityBlock distance)。
(1) 二维平面两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的曼哈顿距离
(2) 两个n维向量a(x11,x12,?,x1n)与b(x21,x22,?,x2n)间的曼哈顿距离
(3)Matlab计算曼哈顿距离
例子：计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的曼哈顿距离
X= [0 0 ; 1 0 ; 0 2]
D= pdist(X, 'cityblock')
结果：
D=
1 2 3
3. 切比雪夫距离 ( Chebyshev Distance )
国际象棋玩过么？国王走一步能够移动到相邻的8个方格中的任意一个。那么国王从格子(x1,y1)走到格子(x2,y2)最少需要多少步？自己走走试试。你会发现最少步数总是max(| x2-x1 | , | y2
(1) 二维平面两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的切比雪夫距离
(2) 两个n维向量a(x11,x12,?,x1n)与b(x21,x22,?,x2n)间的切比雪夫距离
这个公式的另一种等价形式是
看不出两个公式是等价的？提示一下：试试用放缩法和夹逼法则来证明。
(3)Matlab计算切比雪夫距离
例子：计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的切比雪夫距离
X= [0 0 ; 1 0 ; 0 2]
D= pdist(X, 'chebychev')
结果：
D=
1 2 2
4. 闵可夫斯基距离(MinkowskiDistance)
闵氏距离不是一种距离，而是一组距离的定义。
(1)闵氏距离的定义
两个n维变量a(x11,x12,?,x1n)与b(x21,x22,?,x2n)间的闵可夫斯基距离定义为：
其中p是一个变参数。
当p=1时，就是曼哈顿距离
当p=2时，就是欧氏距离
当p→∞时，就是切比雪夫距离
根据变参数的不同，闵氏距离可以表示一类的距离。
(2)闵氏距离的缺点
闵氏距离，包括曼哈顿距离、欧氏距离和切比雪夫距离都存在明显的缺点。
举个例子：二维样本(身高,体重)，其中身高范围是150~190，体重范围是50~60，有三个样本：a(180,50)，b(190,50)，c(180,60)。那么a与b之间的闵氏距离（无论是曼哈顿距离、欧氏距离或切比雪夫距离）等于a与c之间的闵氏距离，但是身高的10cm真的等价于体重的10kg么？因此用闵氏距离来衡量这些样本间的相似度很有问题。
简单说来，闵氏距离的缺点主要有两个：(1)将各个分量的量纲(scale)，也就是“单位”当作相同的看待了。(2)没有考虑各个分量的分布（期望，方差等)可能是不同的。
(3)Matlab计算闵氏距离
例子：计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的闵氏距离（以变参数为2的欧氏距离为例）
X= [0 0 ; 1 0 ; 0 2]
D= pdist(X,'minkowski',2)
结果：
D=
1.00002.0000 2.2361
5. 标准化欧氏距离(Standardized Euclidean distance )
(1)标准欧氏距离的定义
标准化欧氏距离是针对简单欧氏距离的缺点而作的一种改进方案。标准欧氏距离的思路：既然数据各维分量的分布不一样，好吧！那我先将各个分量都“标准化”到均值、方差相等吧。均值和方差标准化到多少呢？这里先复习点统计学知识吧，假设样本集X的均值(mean)为m，标准差(standarddeviation)为s，那么X的“标准化变量”表示为：
而且标准化变量的数学期望为0，方差为1。因此样本集的标准化过程(standardization)用公式描述就是：
标准化后的值 = ( 标准化前的值－分量的均值 ) /分量的标准差
经过简单的推导就可以得到两个n维向量a(x11,x12,?,x1n)与b(x21,x22,?,x2n)间的标准化欧氏距离的公式：
如果将方差的倒数看成是一个权重，这个公式可以看成是一种加权欧氏距离(WeightedEuclidean distance)。
(2)Matlab计算标准化欧氏距离
例子：计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的标准化欧氏距离 (假设两个分量的标准差分别为0.5和1)
X= [0 0 ; 1 0 ; 0 2]
D= pdist(X, 'seuclidean',[0.5,1])
结果：
D=
2.00002.0000 2.8284
6. 马氏距离(MahalanobisDistance)
（1）马氏距离定义
有M个样本向量X1~Xm，协方差矩阵记为S，均值记为向量μ，则其中样本向量X到u的马氏距离表示为：
而其中向量Xi与Xj之间的马氏距离定义为：
若协方差矩阵是单位矩阵（各个样本向量之间独立同分布）,则公式就成了：
也就是欧氏距离了。
若协方差矩阵是对角矩阵，公式变成了标准化欧氏距离。
(2)马氏距离的优缺点：量纲无关，排除变量之间的相关性的干扰。
(3)Matlab计算(1 2)，( 1 3)，( 2 2)，( 3 1)两两之间的马氏距离
X = [1 2; 1 3; 2 2; 3 1]
Y = pdist(X,'mahalanobis')
结果：
Y=
2.34522.0000 2.3452 1.22472.4495 1.2247
7. 夹角余弦(Cosine)
有没有搞错，又不是学几何，怎么扯到夹角余弦了？各位看官稍安勿躁。几何中夹角余弦可用来衡量两个向量方向的差异，机器学习中借用这一概念来衡量样本向量之间的差异。
(1) 在二维空间中向量A(x1,y1)与向量B(x2,y2)的夹角余弦公式：
(2)两个n维样本点a(x11,x12,?,x1n)和b(x21,x22,?,x2n)的夹角余弦
类似的，对于两个n维样本点a(x11,x12,?,x1n)和b(x21,x22,?,x2n)，可以使用类似于夹角余弦的概念来衡量它们间的相似程度。即：
夹角余弦取值范围为[-1,1]。夹角余弦越大表示两个向量的夹角越小，夹角余弦越小表示两向量的夹角越大。当两个向量的方向重合时夹角余弦取最大值1，当两个向量的方向完全相反夹角余弦取最小值-1。从方向上区分差异，对绝对的数值并不敏感。
(3)Matlab计算夹角余弦
例子：计算(1,0)、( 1,1.732)、(-1,0)两两间的夹角余弦
X= [1 0 ; 1 1.732 ; -1 0]
D= 1- pdist(X, 'cosine') % Matlab中的pdist(X,'cosine')得到的是1减夹角余弦的值
结果：
D=
0.5000 -1.0000-0.5000
8. 汉明距离(Hammingdistance)
(1)汉明距离的定义
两个等长字符串s1与s2之间的汉明距离定义为将其中一个变为另外一个所需要作的最小替换次数。例如字符串“1111”与“1001”之间的汉明距离为2。
应用：信息编码（为了增强容错性，应使得编码间的最小汉明距离尽可能大）。
(2)Matlab计算汉明距离
Matlab中2个向量之间的汉明距离的定义为2个向量不同的分量所占的百分比。
例子：计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的汉明距离
X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2];
D = PDIST(X, 'hamming')
结果：
D=
0.50000.5000 1.0000
9. 杰卡德相似系数(Jaccardsimilarity coefficient)
(1) 杰卡德相似系数
两个集合A和B的交集元素在A，B的并集中所占的比例，称为两个集合的杰卡德相似系数，用符号J(A,B)表示。
杰卡德相似系数是衡量两个集合的相似度一种指标。
(2) 杰卡德距离
与杰卡德相似系数相反的概念是杰卡德距离(Jaccarddistance)。杰卡德距离可用如下公式表示：
杰卡德距离用两个集合中不同元素占所有元素的比例来衡量两个集合的区分度。
(3)杰卡德相似系数与杰卡德距离的应用
可将杰卡德相似系数用在衡量样本的相似度上。
样本A与样本B是两个n维向量，而且所有维度的取值都是0或1。例如：A(0111)和B(1011)。我们将样本看成是一个集合，1表示集合包含该元素，0表示集合不包含该元素。
p：样本A与B都是1的维度的个数
数学度量篇二：(沪教版)一年级数学下册 度量
（沪教版）一年级数学下册 度量
一、填空
1.长度的单位有（）、（）、（），分别用字母（ ）、（ ）、 ）表示。
2. 1米=（）厘米 100厘米=（1厘米=（）毫米 10毫米=（3. 50mm=()cm
4m=()cm 300cm=()m 68mm=()cm( )mm
3cm7mm=()mm 20mm=()cm 二、计算
2cm+5mm=
52cm+48cm= 9cm-8mm= 54mm-16mm= 7mm+6cm=
84cm-47cm=
三、填上合适的单位名称：桌子高80（） 橡皮厚1() 一指宽1（） 小巧身高130() 树高3()
小丁丁身高1（ ） 一枚银币厚1() 山高20() 铅笔长19()
）米
8cm=()mm 5cm6mm=()mm
1 / 2
（）厘米
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四、按从大到小的顺序排一排：
1米 1cm 1mm 80cm 90mm
( )
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数学度量篇三：小学数学度量单位转换
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度量单位换算
长度、重量、体积等度量单位的实时换算。
长度换算 公里(km) 1
分米(dm) 10000 毫米(mm) 1000000 里 2 尺 3000 分 300000 海里(nmi)0.5399568 英里(mi) 0.6213712 码(yd)1093.6132983 英寸(in) 39370.0787402
重量换算 公制
吨 1
克(g) 1000000 市制
市斤 2000 两 20000 金衡制
金衡磅 (lb t) 2679.2288807 英钱(dwt)643014.9313726 常衡制
(英制)长吨0.9842065 英担(cwt) 19.6841306 英石157.4730444 盎司(oz) 35273.9619496 格令15432358.3529414
面积换算
平方公里(km2) 1 市亩 1500
米(m) 1000 厘米(cm) 100000 微米(um) 1000000000 丈 300 寸 30000 厘 3000000 英寻 546.8066492 弗隆(fur)4.9709695
英尺(ft) 3280.8398950
-->
公斤(kg) 1000毫克(mg) 1000000000担 20
钱 200000
金衡盎司(oz t) 32150.7465686金衡格令 15432358.3529414(美制)短吨1.1023113美担(cwt) 22.0462262磅(lb) 2204.6226218打兰(dr) 564383.3911933-->
公顷(ha) 100 平方米(m2) 1000000
平方分米(dm2) 100000000平方毫米(mm2) 1000000000000英亩 247.1053815
平方码(sq yd) 1195990.0463011平方英寸(sq
in) 1550003100.0061998
体积换算 公制
立方米(m3) 1 十升(dal) 100
分升(dl)10000 毫升(ml)1000000--> 美制干量
桶 配克(pk) 品脱(pt) 英制液量和干量 桶 加仑(bal) 液量盎司
(fl oz)
公制烹调制式
汤勺(Table spoon) 1 美制烹调制式
汤勺(Tbs) 杯(fl oz) 美制液量 桶[42加仑] 夸脱(qt) 及耳(gi)
平方厘米(cm2) 10000000000 平方英里(sq mi) 0.3861022 平方竿(sq
rd)39536.8610347
平方英尺(sq
ft)10763910.4167097
-->
公石(hl)10
立方分米(dm3
)=升(l) 1000厘升(cl) 100000 立方毫米(mm3)1000000000
蒲式耳(bu) 夸脱(qt)
蒲式耳 品脱(pt)
调羹(Tea spoon) 3
调羹(tsp)
加仑(gal) 品脱(pt)
液量盎司(fl oz)
液量打兰(fl dr) 美英同制体积计量 亩英尺
量滴(min) 立方码