东南大学物理

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东南大学物理篇一：东南大学2014大学物理课程论文

物理论文

理想气体压强的几种推导方法的探讨

赵圆圆（03013205）

（东南大学 能源与环境学院，南京，211100）

摘 要： 理想气体是热力学中的一个重要的理想化模型。而压强是热力学中描述气体的物理性质的一个重要参量。在现实生活中，压强往往是在宏观状态下的一种直观感受，对于其微观本质，我们并不知道。本文通过对不同理想气体压强的几种推导方法的讨论，从本质上对理想气体压强的形成原因做进一步的认识，体会从微观到宏观的统计方法的运用。

关键词： 理想气体；压强公式推导；统计方法

The discussion about several derivations of the ideal

gas pressure

Zhao Yuanyuan

(School of Energy and Environment of Southeast University , Nanjing, 211100)

Abstract: The idea gas is a very important idea model in heat. The pressure is described as a basic physical quantity in the gas

pressure thermal properties. In real life, we feel the pressure in the macroscopic systems, while we don’t know the microcosmic essence of the pressure of ideal gas. Based on the discussion about different methods of the derivation of the ideal gas pressure, essentially further the understanding of the reasons why the ideal gas pressure is formate, and experience the application of statistical methods in microcosmic systems.

key words: ideal gas; the derivation of the ideal gas pressure; statistical methods

压强是描述气体状态的力学量，是宏观量，其本质意义是系统在平衡态下大量气体分子相互碰撞的统计平均效应。理想气体压强公式是气体分子运动论的一个基本方程。本文希望通过将微观量与

宏观量之间建立联系，构建一个理想气体的微观理想化模型，然后在统计学的基础上对所得的结果进行分析。从压强的微观实质出发，对理想气体的几种不同

作者简介：赵圆圆，女，汉，1995，能源与环境学院，1160106375@qq.com

推导方法进行探讨，理解其微观实质。

1.理想气体的微观模型及统计假设

1.1 理想气体的微观模型

从气体动理论的观点来看，理想气体是一种理

想化的气体模型，其微观模型是：

(1) 分子本身的大小与分子间的平均距离相比

可以忽略不计，分子可以看作是质点。

(2) 除碰撞瞬间外，分子间的相互作用力可忽略不计。因此在两次碰撞之间，分子的运动可当作匀速直线运动。

(3) 气体分子间碰撞以及气体分子与器壁之间的碰撞可看作的完全弹性碰撞，分子与器壁间的碰撞值改变分子运动的方向，不改变它的速率，气体分子的动能不因与器壁碰撞而有任何改变。

这样，从气体动理论的观点来看，理想气体可看作是由大量不断作无规则运动的、本身体积可忽略不计的、彼此间相互作用可不予以考虑的弹性小球组成。虽然这是一个理想的模型，它只是实际气体在压强较小时的近似模型。因此，在此基础上，我们可以对理想气体进行压强的推导。 1.2 理想气体分子的统计假设

根据理想气体的微观模型，我们可以把理想气体看为由大量分子所组成的热学系统，粒子可近似地看作质点。理想气体施于容器器壁的压强是大量分子对器壁不断碰撞的结果，而理想气体内部的压强是垂直于截面方向的热运动动量交换所引起的。 处于平衡状态的理想气体的统计假设： (1)气体分子在空间均匀分布。

(2)气体的性质与运动方向无关，分子向各个方向运动的几率相等。

下面我们可以根据这一模型和所做的统计假设，对气体的压强进行合理化的推导。

2. 不同情况下理想气体压强的几种推

导方法

伯努利最早利用气体分子运动概念来导出作用于上的压强公式，他认为，气体作用于器壁的压力是气体中大量分子对器壁碰撞的结果。碰撞时气体分子对器壁作用以冲量，从而使器壁受到几乎不变的气体压强作用。

2.1 假设的容器壁为球型容器壁

如图1，推导气体对球形面积的压强，假设碰撞是光滑表面弹性碰撞。

速度为vi的一个分子一次碰撞施以器壁的冲

物理论文

量为2mνicosαi。

图1 假设器壁为球型

速度为vi的一个分子连续两次碰撞器壁所需的时间为： t=

l2Rcosαi

v=

① ivi

单位时间内分子碰撞器壁的次数为： υ=

νi

2Rcosα ②

i

dt时间内分子碰撞器壁的次数为:

υdt=

νi

2Rcosαdt ③

i

dt时间内一个分子碰撞器壁施于器壁的冲量

为:

dk=2mννmν2

i

i

icosαi2Rcosαdt=dt ④

iR

各种速度的分子在dt时间内对球面的冲量为:

n

2

k=∑mνn i=mi=1

RR∑ν2

idt⑤

i=1由统计平均值导出方程:

n

2

i

v2

=

∑v

i=1

N

⑥

设球的半径为R，单位体积内分子数为n,总分

子数 N，所以有:

N=

43πR3

?n⑦ 故，k=m2

m4RNvdt=

R3

πR3?n?v2dt⑧ 球面上的压强S=4πR2

，所以压强为：

4πR2

mnv2dtp=4πR2

dt=1

3nmv2

=23

nε⑨

2.2 假设的容器壁为任意形状容器壁

如图2，推导气体对任意形状容器器壁上的任一面积元dS的压强。因为dS面积微元很小，因此我们可以将面积元看作是一个光滑的弹性平面。

假设碰撞为光滑平面弹性碰撞，根据速度大小将分子分成很多组，每个组内的部分速度的大小和方向都是一样的。

图2 假设器壁为任意形状

速度为vi的一个分子一次碰撞施以器壁的冲量为2mνicosαi。

速度为vi的分子在dt时间内施于dS面的冲量为dk。dt时间内与dS面相碰的分子处图2的斜柱体内，分子数为nivixdkdS。

速度为vi的分子在dt时间内施于dS面的冲

量为 dk=2mv2

ixnivixdtdS=2mnivix

dtdS ⑩ 物理论文

各种速度的分子在dt时间内施于dS面的冲

量为 ?

nk=2m∑n2

n

ivixdSdt(vix>0)=m∑n2

ivixdSdt?

i=1

i=1

对于上式需要说明的是，求和项中vix是指运动方向沿x轴正方向的分子。速度为vix（vix>0）的分子才能碰撞到dS面上，由于气体整体无运动，根据等几率性知各方向的几率相等，则vix>0的分子数与vix<0的分子数各占沿x轴运动的分子数的一半。所以合并后求和，即可得到上式中的结果。

由

n

nv

2

iix

vi=1

x=

∑n

?

又由于沿三维空间各方向的几率是相等的，

即：

v2

2

2

1x=vy=vz=3

v2

? k=mnv21

xdSdt=

3

mnv2dSdt ? 所以压强为：p=

dkdSdt=13nmv2=2

3

nε? 3. 思考讨论

从以上的分析中，我们可以看出，理想气体分

子的碰撞器壁模型虽然不同，但是得到的结论是一样的，都是p=

13nmv2=2

3

n，这同课本中假设碰撞器壁模型是立方体的结果也是一样的，充分说

明了这一结果的普遍性。

当假设碰撞器壁为任意形状时，是将推导理想

气体压强的这种思维进一步推广，从而得到普遍性

规律。 因此，从理想气体压强公式推导的过程中，可

物理论文

以得到物理推导中的一般性方法。

3.1 合理地建立理想化模型

在建立理想气体的分子模型时，提出了一些合理化假设。即抓住主要问题，忽略次要因素。

在理想气体分子比较小时，上述的假设是非常接近实际情况的。

另外在建立器壁模型的时候，先从形状规则的立方体模型开始，再到球型器壁，最后推广到任意器壁形状的情况，这种推广的方法也是合理的。而且在向任意形状的器壁模型推广的时候，运用了面积微元的思想，这在微观领域里是非常合适的，因为理想气体的分子线性尺度是很小的，因此这一微元的思想也是值得借鉴的。 3.2 合理地应用统计方法

在推导过程中，运用了统计的思想。如理想气体分子在碰撞到器壁粘滞在器壁上、分子在运动过程中相互碰撞折回而没有到达器壁等的情况都没有考虑。但这并不影响结果的正确性，因为上述的情况为少数分子的行为，就大量分子的统计结果来讲，有某分子因碰撞而改变运动方向，则必然有分子因碰撞而替代它的作用，虽然在微观上气体分子不是原来的气体分子，但是宏观上来看，它对外呈现的效应是一样的。 3.3 微观与宏观的联系

理想气体的压强公式，建立了气体分子宏观状态参量P与微观量n上的联系，揭示了压强产生的本质。得到了理想气体压强与分子的平均平动动能及单位体积内的分子数之间的定量关系。

从整个推导的过程中，对宏观参量压强的决定因素有了更深的认识，也对统计方法有了一定的理解，对于合理的理想化模型的建立，还需要在以后的学习中多注意类似的模型的建立，在以后的理想化模型的建立中能够举一反三。

参考文献：

[1] 马文蔚，解希顺，周雨青 《物理学》（第五版）下册 高

等教育出版社 2006-03 P178-182

[2] 腾秦 刘传先 《大学物理基础》 机械工程出版社

2008-11 P60-61

东南大学物理篇二：东南大学11-12大学物理试卷

东南大学物理篇三：物理学(第五版)下册 马文蔚等改编(东南大学) 答案

第九章振动

1、设一物体沿x轴作谐振动的方程为x=0.10cos(2πt+（1）振幅，周期，频率和初相x=

π，式中x，t的单位分别为m，)

4

s.试求：

Acos(ωt+?)；（2）t=0.5s时，物体的位移、速度和加速度.

解：（1）谐振动的标准方程为，比较题中所给方程和标准方程，知振幅

A=0.10m，角频率

ω=2πrad/s

周期为T=

，初

?=

π

4

.由此，

2π

ω

=1s 频ν=

ω

=1Hz率为2π

（2）t物体位移x速度v

=1s时，

=0.10cos(2π+

π

)=0.10cos(2π?0.5+)m=-7.07?10-2m 44

π

dxππ

=-0.2πsin(2πt+)=-0.2πsin(2π?0.5+)m/s=0.44m/s dt44dvππ

加速度a==-4π2sin(2πt+)=-4π2cos(2π?0.5+)m/s2=28m/s2

=

dt

4

4

2、有一弹簧，当其下端挂一质量为m的物体时，伸长量为9.8×10 m。若使物体上、下振动，并规定向

-2

-2

上为正方向。（1）当t=0时，物体在平衡位置下方4.0×10 m处，由静止开始向上运动，求运动方程。（2）当t=0时，物体在平衡位置并处以0.2m·s的速度向下运动，求运动方程。 解：（1）根据题给的条件，x0点）且

-1

=-4.0?10-2 m, v0=0（题取向上为正方向，且平衡位置处为原

A=4.0?10-2 m，其旋转矢量应为如图9-4-1图位置，所以?0=π。

k

m

，而 mg=

又ω=

kx0,

kg=所以

mx0

,

ω=

9.8

-2

9.8?

10

9-4-1图

所以谐振动方程：x（2）据题意，得

=4.0?10-2cos(10t+π)m

t=0时，x0=0，v0=-0.6 m.s-1，其旋转矢量应为如图9-4-2图位置则

v0

0.22

A=x+()=0+2=2?10-2m

ω10

2

2

2

?0=

π 2

（

x=0的投影有上、下两个矢量，但v0为负值，故只能选上面的OM矢量），所以谐振动

方程为x

π

=4.0?10-2cos(10t+)m。

2

3、做简谐振动的物体，由平衡位置向x轴正方向运动，试问经过下列路程所需的最短时间各为周期的几分之几？

（1）由平衡位置到最大位移处；（用旋转式量方法） （2）由平衡位置到x

=

AA

处；（3）由x=处到最大位移处。（用旋转式量方法） 22

解 ：（1）作旋转矢量如图9-5-1图，

得??

=ωt=

t

?2π T

O

M'

因为求的是最短时间，故取向下的

??

M

πt1

旋转矢量，所以==

πT4

（2）如图9-5-2图

9-5-1图

π

??==ωt t=1. （3）同理 ??=π , t=1

6T63T12

4、某振动质点的

x-t曲线如9-6图所示，试求：

（1）振动的周期和初相；

（2）点P位置所对应的相位和时刻。 解（1）由曲线知，

t=0时 ，x0=0.05m=，作旋转矢量如图

ππ

。由旋转矢量得，t1=4s时，ωt1+?0=

23

9-6-1图所示?0

=-

ππ

+2π23=5πs-1，所以运动周期为：T==9.6 s 。 所以ω=

ω424

（2）如图9-6-2图，?P

所以 t

=0，即 ωt+?0=?p=0

π248

?=s 。 35π5

-2

-1

=-

?0

=

5、质量为0.10kg的物体，以振幅1.0×10m

作简谐运动，其最大速度为

4.0m·s。

求：(1)振动的周期；(2)物体通过平衡位置时的总能量与动能；(3)物体在何处其动能和势能相等； (4)当物体的位移大小为振幅的一半时，动能、势能各占总能量的多少?

解:（1）vmax

vmax

=ωA ，ω=

A

=Ek=

A-2

T==2π=1.57?10，所以s.

ωvmax

2π

（2）此E

12

（3）设在mvmax=0.8J

2

x0处Ep=Ek，则1kx

2

Ep=

20

=

12112mv=?kA，222

，

x0=±

2

A=±7.07?10-32

m（4）

121A21121kx=k()=?kA=E222424

Ek=E-Ep=

3

E。 4

=0.05cos(20t+0.75π)m；

6、已知同方向、同频率的两简谐运动的运动方程分别为x1

x2=0.06cos(20t+0.25π)m。

求：（1）合振动的振幅及初相；（2）若有另一同方向、同频率的简谐振动x3

=0.07cos(10t+?3)m，则

?3为多少时，x2+x3的振幅最大？又?3为多少时，x1+x3的振幅小？

解（1）作两个简谐运动合成的旋转矢量图（如9-11-1图），

因为??

=?2-?1=-

π2

，故合振动振幅为

A=

2

A12+A2=7.8?10-2m

合振相位?

(Asin?1+A2sin?2)=1=arctan11=1.48rad

A1cos?1+A2cos?2)

（2）使

x2+x3

振幅最大，即两振动同相，则由

??=2kπ

得：

?3=?2+2kπ=2kπ+0.25π，k=0,±1,±2, , 要使x1+x3的振幅最小，即两振动反向，

则由?

?=(2k+1)π得：?3=?1+(2k+1)π=2kπ+1.75π，k=0,±1,±2,

-1

1.0?10-2kg的子弹，以500m.s

8、如9-8图所示，质量为

的速度射人木块，并嵌在木块中，同时弹簧压缩从而作简谐运动。设木块的质量为4.99kg，弹簧的劲度系数为

8.0?103N·m-1，若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点，

向左为

x轴正向，求简谐振动方程。

=0时刻，弹簧原长处为原点，则

解：设子弹射入木块时为t

x0=0

，

-m1vv0==-1.0

m1+m2

m.s

-1

,由旋转矢量9-8-1图得

?0=

π2

,又

ω=

k

=40

m1+m2

v0

2

A=x0+(

ω

)2=2.5?10-2 所以振动方程为x=2.5?10-2cos(40t+)

π

2

9、示波管的电子束受到两个相互垂直的电场的作用。电子在两个方向上的位移分别为

x=Acosωt

和

y=Acos(ωt+?)。求在?=0、?=300及?=900各种情况下，电子在荧光屏上的

轨迹方程。

解：这是两个振动方向互相垂直的同频率简谐运动的合成问题。合振动的轨迹方程为

x2y22xycos??2

+-=sin??式中，A1、A2为两振动的振幅；??为两个振动22A1A2A1A2

的初相差。本题中

A1=A2，??=?

，故有x

2

+y2-2xycos??=A2sin2?

（1）当

?=0时，有x=y，轨迹为一直线方程。

，轨迹为椭圆方程。

2

A220

（2）当?=

30时，有x+y=

4

2220

x+y=A?=90（3）当时，有，轨迹为圆方程。

第十章波动

1 . 一横波沿绳子传播时的波动表达式为

y=0.05cos(10πt-4πx)，x，y

的单位为米，

（1）求此波的振幅、波速、频率和波长。（2）求绳子上各质点振动的最大速度和最大加速t的单位为秒。度。（3）求

x=0.2 m处的质点在t=1s时的相位，它是原点处质点在哪一时刻的相位？

tx

-) 0.20.5

解 （1）将题中绳波表达式y=0.05cos(10πt-4πx)=0.05cos2π(

与一般波动表达式

tx

y=Acos2π(-)比较，得振幅A=0.05 m，T=0.2s频率

Tλ

-1

ν=5 Hz，波长λ=0.5 m。波速u=λν=0.5?5=2.5 m?s

（

2

）

绳

上

各

质

点

振

动

的

-1

最大速度

vmax=ωA=2πνA=2?3.14?5?0.05=1.57 m?s

绳上各质点振动时的最大加

速度

amax=ω2A=4π2ν2A=4?3.142?52?0.05=49.3

x=0.2

m，

m?s

-

（3）将

t=1

s代入

(10πt-4πx)

得到所求相位

10π?1-4π?0.2=9.2π，x=0.2 m处质点的振动比原点处质点的振动在时间上

落后

x0.2==0.08u2.5

s （

u=λν=2.5

m?s），所以它是原点处质点在

-1

t0=(1-0.08)=0.92s时的相位。

2.设有一平面简谐波 y=0.02cos2π(

tx-) ， x，y以m计， t以s计。（1）求振0.010.3

幅、波长、频率和波速。（2）求

x=0.1m处质点振动的初相位。

y=0.02cos2π(

tx

-)0.010.3

与一般表式

解（1）将题设平面简谐波的表式

y=Acos2π(

tx

-)比较，可得振幅A=0.02 m，波长λ=0.3 m，周期T=0.01s。 Tλ

-

11==100Hz ，波速 u=λν=0.3?100=30m·s 因此频率ν=

T0.01

（2）将

x=0.1m代入波动表式，得到位于该处的质点的振动表式

(出自:WwW.HNNscy.Com 博 文学习 网:东南大学物理)

t0.12π2π

y=0.02cos2π(-)=0.02cos(t-)

0.010.30.013

因而该处质点振动的初相位?0=-

2π。 3

3. 有一平面简谐波在介质中传播，波速处一点P的运动方程为

u=10 m?s，已知沿传播方向距波源O（坐标原点）为5.0 m

-1

yP=0.30cos(2πt+π2)m，求波动方程。

解 波动方程要根据任意点的振动方程写出。取波动向为

x轴正方向（右向）传播, 如图Q点（距离o点

x）比P点晚振动(xQ-xP)u时间,所以波动方程可以写出为

xQ-xP

10

yQ=0.30cos[2π(t-

x3π

]m )+] =0.30cos[2π(t-)+

1022

π