管卫东高考数学学习方法

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管卫东高考数学学习方法篇一：管卫东轻松考数学：高考大题中的通解思维

管卫东轻松考数学：高考大题中的通解思维

当前教学上喜欢讲究一题多解，因为这样能够锻炼学生的做题思维和技巧，但是搏众高考中心今天我们要反其道而行之，那就是一解多题。

数学大题表面上是很难，但是通过多年的教学积累和经验总结，我们发现数学整个学科的解题思维基本上趋于一致，能够形成通解，使我们在数学教学上大幅的简化，甚至不需要刻意的思考。我们借助一下历年高考真题，看看是不是能够用一种方法或一种思维进行解答。这里，我们全部采用05~08全国I卷的最后一题，发现是数列、函数或不等式题，没关系，题型不一样，看看是否能用固定的思维解法，解题步骤中存在什么样的共性：

4x2?7,x?[0,1]. （05全国卷）已知函数f(x)?2?x

（Ⅰ）求f(x)的单调区间和值域；

（Ⅱ）设a?1，函数g(x)?x3?3a2x?2a，x?[01,]。若对于任意x1?[0，1]总存在x0?[0，1]，使得g(x0)?f(x1)成立，求a的取值范围。

解析：本题看似式子复杂，但是第一问直接可根据定义去做，这个分数必须拿到。根据定义得出以下式子：

?4x2?16x?7(2x?1)(2x?7)解：（I）对函数f(x)求导，得f?(x)?到这步几乎大家都会，??22(2?x)(2?x)

题目问的是的单调区间和值域，很多人看到这个式子不敢往下分析，其实仍旧跟据定义： 令f?(x)?0解得x?1或x?7.然后做表分析即可。【思考：凭什么令f?(x)?0？】 22

当x变化时，f?(x),f(x)的变化情况如下表：

所以，当x?(0,)时，f(x)是减函数；当x?(,1)时，f(x)是增函数.

当x?[0,1]时，f(x)的值域为[－4，－3].

第二问很多人看题目就晕菜了，其实这道题即使你不会分析，大胆的往下做，就能把题目做对，我们思考下，题目给的条件和我们要求的差距点是什么？这道题的差距点虽然较大，但是用这种求差值的思想是能一步步走下去的，题目给的是g(x),x1和x0,并且给了范围，要我们求解a的范围，要想求a的值，就必须列出a的表达式，a的表达式想要列出，就必须从g（x）入手，题目给的信息除了区间就没有其他能利用的条件了。既然题目给的是区间，因此我们不妨对函数g(x)求导，得

【思考：凭什么进行求导？目的是什么？】到了这一步，由于题目告诉我们a?1，g?(x)?3(x2?a2).1212

所以当x?(0,1)时，g?(x)?3(1?a2)?0.

因此当x?(0,1)时，g(x)为减函数，从而当x?[0,1]时有g(x)?[g(1),g(0)].这个就是我们所要的缺失条件。到这里可能同学们清楚了为什么要进行求导，因为题目给了我们取值区间，要想求出a值，只要判断这个函数的增减性就行了，这就是条件差异弥补的推导思想。由于知道函数的增减性，就容易了，马上可列出a的表达式：

又g(1)?1?2a?3a2,g(0)??2a,即当x?[0,1]时有g(x)?[1?2a?3a2,?2a].有人说这个不是表达式，还是个未知数，没关系，我们再用同样的思想去走，发现现在能利用的条件也异常清楚了（因为就这个没用上了）：

任给x1?[0,1]，f(x1)?[?4,?3]，存在x0?[0,1]使得g(x0)?f(x1)，

则[1?2a?3a2,?2a]?[?4,?3]

?1?2a?3a2??4 即???2a??3

解得 a?1或a???1??2? 53； a?. 32

3. 2又a?1，故a的取值范围为1?a?

评析：这道题式子复杂，05年高考时候正确率非常之低，但是其中的解题过程并不复杂，思维方向也十分明确，只是考题将多个概念进行转换，条件隐蔽的相对较深。数学题的核心就是知识点与逻辑能力的结合，但是总的思想是异常相似的，几乎全部的解答题都可以用一个思维来做，就是“条件差异弥补法”和“必要性思维”。所谓的“必要性思维”指的是要想获取某个结果，必须获得的前提是什么，多属于逆推，两者的道理是一样的。

这里我们总结出这道题的思维步骤和解题步骤：

全部的思维步骤：

1、 严格按照题目的要求，判断要我们干什么

2、 找出题目给的条件和我们要求的差距点是什么

3、 利用“找后补”或“找前提”的方式弥补出这个差距

4、 最终联系条件得出这个结论

固定的解题步骤：

1、 直接根据课本定义得出结论（某类题注意取值分析）

2、 用求同存异的思想进行条件转换

3、 函数用式子变形推出结果（引申：若是证明，数列用数学归纳法）

我们来看下道题，是否能够套用以上结论：

（06全国卷）设数列?an?的前n项的和

Sn?412an??2n?1?，n?1,2,3,??? 333

（Ⅰ）求首项a1与通项an；

n32n

（Ⅱ）设Tn?，n?1,2,3,???，证明：?Ti? 2Sni?1

解析：题目直接要求我们求首项和通项，由于我们知道通项和Sn公式，就能直接根据定义来做。

412412解: (Ⅰ)由 Sn=n－2n+1+，? , ① 得 a1=S1= a14+ 所以a1=2. 333333

412再由①有 Sn－1=an－1－2n+，4,? ② 333

41将①和②相减得: an=Sn－Sn－1= n－an－1)－(2n+1－2n),n=2,3, ?做到这一步相信大家都会，那么33

我们要求an公式，通过这个式子，我们发现差距点在an－an－1，同时可以2n+1－2n也是相差一次，

－因此直接提出后，可以得出： an+2n=4(an－1+2n1),n=2,3, ? , 这个就是我们所弥补的缺失点。因而

－数列{ an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=4×4n1= 4n, n=1,2,3, ?, 因而an=4n－

2n, n=1,2,3, ?, 做到这里，我们要问自己凭什么这么转化，我们所求的an和得到的结果(an与an－1)存在差异点，要想把这个差异点弥补，就把他们之间的关系列出，就能得出结论。

第二问是数学证明，首先可以考虑数学归纳法证明，但是这题题设与我们得到的结论差距较少，直接求解较快，如果为求稳妥，建议用数学归纳法。看看直接求解的思路：

2n

题目让干嘛就干嘛，别多想，直接用定义。题目给的是Tn?这个式子，那么必须求出Sn。 S

n

4121(Ⅱ)将an=4n－2n代入①得 Sn= ×(4n－2n)－×2n+1 + = ×(2n+1－1)(2n+1－2) 【请思考】 3333

2= ×(2n+1－1)(2n－1) ，然后求出Tn和3?T（问题与题目的差距点，并想办法补上） i

i?1n

2n32n311 Tn= = ×= ×( － ) Sn2 (2－1)(2－1)22－12－1

所以, ?i?1n3Ti= 2?(i?1n113113 － ) = ( － 22－122－12－12－1评析：这题本身难度不高，但是第一步的难度较大，但是用上必要性思维和求差距思想，要想获得an通项，必须结合起来解答，全部的难点仅此而已。总体而言，全部的解题思维是惊人的趋于一致的。不信？看下道题：

，2，3，…． （07全国卷）已知数列?an?中a1?

2，an?1?1)(an?2)，n?1

（Ⅰ）求?an?的通项公式；

（Ⅱ）若数列?bn?中b1?2，bn?1?3bn?4，2，3，…，

，n?12bn?3

，2，3，…． ?bn≤a4n?3，n?1

（07全国卷）解析：发现这题的做法思路完全和06年的一致，显然不能一步到位，还是先求出an

与某个数的关系式，题目告诉我们an?1?1)(an?2)，说明差距体现在

个式子来决定我做题的方向： 1上，用这

解（Ⅰ）由题设：an?1?

1)(an?2)?1)(an?1)(2

?1)(an

an?1?1)an(．2

)

所以，数列an?

是首项为2

1的等比数列，

n2，3，…． 1)?1?an1)n，即a

n的通项公式为an??，n?1，?这道题难在第一步不知道如何去想，题目告诉我们的条件似乎比较棘手，但是用这种“追求差异”并想法弥补的思维定式去做，很容易就将题目解答出来了。对于高考，方法越简单越实用越好，尤其是第二步给出了个看似复杂的式子，我们没有必要花费过多的精力推导，直接用数学归纳法即可（过程略）。

评析：整体难度其实不大，但是看起来比较有难度。我们只要沿用这种求同存异的“补差”思想，还是非常容易做的，甚至连计算都不难。

看到这里，大家应该能用这种思维去做其他题了吧，我们日常遇见的题型虽然各有差异，其实总的做题思维真的没有太多差距，并且在解题步骤上也十分类同。大家不妨用这种思维去看看08的最后一题。

（08全国卷）设函数f(x)?x?xlnx．数列?an?满足0?a1?1，an?1?f(an)．

（Ⅰ）证明：函数f(x)在区间(0，1)是增函数；

（Ⅱ）证明：an?an?1?1；

（Ⅲ）设b?(a1，1)，整数k≥a1?b．证明：ak?1?b． a1lnb

简要解析：看看08高考题型结合函数了，依旧用同一个思想，第一步，依旧是题目让干嘛就干嘛，求函数增减性，直接用定义，要证明，数学归纳法。

解：第一步（略），第二步证明，发现第一步函数的增减性可以直接利用，直接用数学归纳法。 第三步较为复杂，没关系，这题表面是数列，其实考察的是不等式，无论是哪类题型，其根本点还是从条件中寻求差异，要我们证明ak?1?b，给的条件是设b?(a1，1)，整数k≥a1?b，依旧是以a1lnb

“必要性思维”来思考，要想获得ak?1?b这个结论，必须列出他们的表达，要想列出他们的表达，必须利用有这两个字母的条件，我们发现题目有f(x)?x?xlnx和an?1?f(an)，然后就能轻松的

?b?a?b?alna得出结论：由f(x)?x?xlnx．an?1?f(an) ，a?a1?b?k?1kkk

了这里，几乎全部出来了。

1， 若存在某i≤k满足ai≤b，则由第二步可知：ak?1?b?ai?b≥0 ?alna到iii?1k

?b?a?b?alna2， 若对任意i≤k都有ai?b，则a k?1kkk

a?b?kalnb?a1?b??ailnai?a1?b??ailnb?a1?b?(?ai)lnb?11

i?1i?1i?1kkk

?0，即a?b成立. ?a?b?kalnb?a?b?(a?b)1111k?1

解析：这道题出的十分经典，即考察定义，又综合了多个知识点，同时式子看起来比较能够“吓唬”人，思维跳跃过程很大，但是计算本身并不复杂，这题失分率非常之高，第一步的过程就把很多学生难倒，这是不应该的，其实无论多难的数学题，解题的根本方法是从题目本身入手，题目让干嘛就干嘛，要我们做什么就自然而然的做，而不是看到题就联系知识点套用，那样只能做简单的题，对付这类灵活多变的综合题，我们要在做题过程中形成这种相对固定的解题思路，达到用一招就能化解多题，做一题，会百题的效果。

纵观近年数学考题，几乎都可以用这种思维拿下，当然这是站在数学的理解基础上，核心原则是以题做题，挖掘各类题型思维的共性，这样才能在数学考试上战无不胜，攻无不克。

09试题的题型虽然比较独特，但是看看能否用这种思维来作出这道题呢？我们看看：设函数

，0],x1?[1,2]. f?x??x3?3bx2?3cx在两个极值点x1、x2，且x1?[?1

（I）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出

满足这些条件的点?b,c?的区域；

(II)证明：?10?f?x2???1 2

解析：不管这道题的问法是什么，拿到题后还是先关注题目让

我们干什么。题目意图是让我们画出关于f（x）成立bc的条件范

围，我们什么都不要想，直接顺着题意来：

f??x??3x2?6bx?3c由题意知方程f??x??0有两个根x1、x2

且x1?[?1，0],x2?[1,2].则有f???1??0，f??0??0，f??1??0，f??2??0故有

这个不等式组全部转化为c的表达式，出来后就能通过坐标系画图，它们

围起来的区域就是所得的区域。之所以要求导，是因为导数=0时是极值点，

这个就是直接根据定义得来的，符合我们说的通解思维。（具体图不画了）

第(II)问很多考生就不会做了，因为有一定的区分度，更主要原因是含字母较

多，不易找到突破口。来看我们的思想原则：首先找出题目给的条件和我们要求的差距点是什么，然后利用“找后补”或“找前提”的方式弥补出这个差距，题目让我们干嘛就干嘛。本题让我们证明?10?f?x2???1，既然是要求x2，我们不妨想办法列出f（x2）的表达，从题目给的极值2

32和x2的取值范围，我们不妨根据定义对f?x2??x2?3bx2?3cx2求导，得出

f??x2??3x22?6bx2?3c?0，有了这个式子，我们看看还有什么条件没用上？转化一步，写成

12113cbx2??x2?c，那么直接消去b得，f?x2???x23?x2为什么要消去b呢？因为由第2222

一步大家画的区域可以知道b，c的取值范围，我们只有将f?x2?转为b或c的表达式，

才能得出

管卫东高考数学学习方法篇二：【管卫东】高考数学基础构架及练习

第一章 集合与简易逻辑

一、知识网络：

简易逻辑

命题

复合命题

逻辑联结词

互为逆否命题与等价命题

简单命题

互逆命题与互否命题

交集、并集、补集

集合的运算与运算率

集合的表示方法

集合

子集与真子集

描述法空集与全集

两集合相等

集合的概念

常用数集的符号

列举法集合元素的性质

真值表四种命题的形式及关系

充分条件????必要条件

二、考点链接：

1． （2007，广东文）已知集合M??x|1?x?0?，N?{x|

A.?x|?1?x?1? B. ?x|?1?x?1? C.?x|x?1? D. ?x|x??1? 2． （2007

，广东理）已知函数f(x)?

为N，则M?N?（ ）

A.?x|x??1? B. ?x|x?1? C.?x|?1?x?1?D. ? 3． （2007，山东）已知集合M???1,1?，N?{x|

1

1

?0}，则M?N?（ ） 1?x

M，g(x)?ln(1?x)的定义域1

?2x?1?4，x?Z}，则M?N?（ ） 2

A.??1,1? B. ??1? C.?0? D. ??1,0?

4． （2000，上海）设I是全集，非空集合P、Q满足P?Q?I. 若集合P、Q的一个集合运

算表达式，使运算结果为空集?. 则这个运算表达式可以是________.

2

5． 已知集合A?x|x?4mx?2m?6?0，x?R， 若A?R－??，求实数m的取

??

值范围.

第二章 函数

一、知识网络：

定义域

定义

对应法则值域

映射

函数

性质

奇偶性

对数的性质

单调性周期性

对数

反函数

互为反函数的函数图像关系

对数函数

对数函数的图像和性质

对数恒等式和不等式常用对数自然对数积、商、幂与根的对数

指数函数

区间

一元二次函数一元二次不等式

根式分数指数

指数方程对数方程

指数函数的图像和性质

2

二、考点链接：

1． （2007，广东文）若函数f(x)?x(x?R)，则函数y?f(?x)在其定义域上是（ ）

A. 单调递减的偶函数 B. 单调递增的偶函数 C. 单调递减的奇函数 D. 单调递增的奇函数 2． （2007，广东理）若函数f(x)?sinx?

2

3

1

(x?R)，则f(x)是（ ） 2

A. 最小正周期为

?

的奇函数 B. 最小正周期为?的奇函数 2

C. 最小正周期为2?的偶函数D. 最小正周期为?的偶函数 3． 实数m在什么范围，方程x?2x?1?m有四个互不相同的实数根.

4． 定义域是R的函数f(x)在?3,???上是增函数，且f(0)?0，又知函数f(x?2)为奇

函数，求满足条件

2

f(x)

?0的x的取值范围. x

5． （2005，广东）设函数f(x)在

???,???

?x)?f(?2x，上满足f(2

f(7?x)?f(7?x)，且在闭区间?0,7?上，只有f(1)?f(3)?0.

（1） 判断函数y?f(x)的奇偶性

（2） 求方程f(x)?0在闭区间??2005,2005?上的根的个数，并证明结论.

2

6.（2007，广东）已知a是实数，函数f(x)?2ax?2x?3?a. 如果函数y?f(x)在区间

??1,1?上有零点，求a的取值范围.

3

第三章 数列

一、知识网络：

定义项，通项

数列基础知识

数列表示法数列分类

数列

等差数列等比数列

特殊数列

定义通项公式前n项和公式性质

其他特殊数列求和

二、考点链接：

1． （2006，广东）已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则

公差等于_______.

2． （2006，全国）设{an}是公差为正数的等差数列，若a1?a2?a3?15，若a1a2a3?80，

则a11?a12?a13?________.

3． （2005，全国）在

827

和之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则插入的三个数32

的乘积为________.

4． （2002，广东）已知等差数列前三项为a、4、3a，前n项和为Sn，Sk?2550.

(1) 求a及k的值； (2) 求lim(

n??

111??…?). S1S2Sn

4

5. （2005，全国）设正项等比数列{an}的首项a1?

1

，前n项和为Sn，且2

210S30?(210?1)S20?S

（1） （2）

10

? 0

求{an}的通项； 求{nSn}的前n项和Tn.

6.（2006，广东）已知公比为q(0?q?1)的无穷等比数列{an}各项的和为9，无穷等比数列{a2n}各项的和为

81

. 5

（1） 求数列{an}的首项a1和公比q； （2） 对给定的k(k?1,2,3,…,n)，设T

求数列T

(2)

(k)

是首项为ak，公差为2ak?1的等差数列.

的前n项和；

(i)

（3） 设bi为数列T

使得lim

的第i项，Sn?b1?b2?…?bn，求Sn，并求正整数m(m?1)，

Sn

存在且不等于零.

n??nm

5

管卫东高考数学学习方法篇三：【管卫东】高考数学基础构架及练习(全)

第一章 集合与简易逻辑

一、知识网络：

简易逻辑

真值表

四种命题的形式及关系

逻辑联结词命题

复合命题

互为逆否命题与等价命题

简单命题

互逆命题与互否命题

交集、并集、补集

集合的运算与运算率

集合的表示方法

集合

子集与真子集

空集与全集

两集合相等

描述法

集合的概念

常用数集的符号

列举法集合元素的性质

充分条件????必要条件

二、考点链接：

1． （2007，广东文）已知集合M??x|1?x?0?，N?{x|

A.?x|?1?x?1? B. ?x|?1?x?1? C.?x|x?1? D. ?x|x??1? 2． （2007

，广东理）已知函数f(x)?

为N，则M?N?（ ）

A.?x|x??1? B. ?x|x?1? C.?x|?1?x?1?D. ? 3． （2007，山东）已知集合M???1,1?，N?{x|

1

11?x

?0}，则M?N?（ ）

M，g(x)?ln(1?x)的定义域

12

?2

x?1

?4，x?Z}，则M?N?（ ）

A.??1,1? B. ??1? C.?0? D. ??1,0?

4． （2000，上海）设I是全集，非空集合P、Q满足P?Q?I. 若集合P、Q的一个集合运

算表达式，使运算结果为空集?. 则这个运算表达式可以是________.

5． 已知集合A??x|x2?4mx?2m?6?0，x?R?， 若A?R－??，求实数m的取

值范围.

第二章 函数

一、知识网络：

定义域

定义

对应法则值域

区间

一元二次函数一元二次不等式

指数函数

根式分数指数

映射

函数

性质

指数函数的图像和性质

指数方程对数方程

奇偶性

对数的性质

单调性

积、商、幂与

周期性

对数

反函数

互为反函数的函数图像关系

对数恒等式

对数函数

对数函数的图像和性质

常用对数自然对数和不等式根的对数

2

二、考点链接：

1． （2007，广东文）若函数f(x)?x3(x?R)，则函数y?f(?x)在其定义域上是（ ）

A. 单调递减的偶函数 B. 单调递增的偶函数 C. 单调递减的奇函数 D. 单调递增的奇函数 2． （2007，广东理）若函数f(x)?sinx?

2

12

(x?R)，则f(x)是（ ）

A. 最小正周期为

?2

的奇函数 B. 最小正周期为?的奇函数

C. 最小正周期为2?的偶函数D. 最小正周期为?的偶函数 3． 实数m在什么范围，方程x?2x?1?m有四个互不相同的实数根.

4． 定义域是R的函数f(x)在?3,???上是增函数，且f(0)?0，又知函数f(x?2)为奇

函数，求满足条件

f(x)x

?0的x的取值范围.

2

5． （2005，广东）设函数f(x)在

???,???

上满足f(2?x)?f(?2x，

f(7?x)?f(7?x)，且在闭区间?0,7?上，只有f(1)?f(3)?0.

（1） 判断函数y?f(x)的奇偶性

（2） 求方程f(x)?0在闭区间??2005,2005?上的根的个数，并证明结论.

3

6． （2007，广东）已知a是实数，函数f(x)?2ax2?2x?3?a. 如果函数y?f(x)在区

间??1,1?上有零点，求a的取值范围.

第三章 数列

一、知识网络：

4

定义项，通项

数列基础知识

数列表示法数列分类

定义

等差数列等比数列

特殊数列

通项公式前n项和公式性质

数列

其他特殊数列求和

二、考点链接：

1． （2006，广东）已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则

公差等于_______.

2． （2006，全国）设{an}是公差为正数的等差数列，若a1?a2?a3?15，若a1a2a?80，3

则a11?a12?a13?________.

3． （2005，全国）在

83

和

272

之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则插入的三个数

的乘积为________.

4． （2002，广东）已知等差数列前三项为a、4、3a，前n项和为Sn，Sk?2550.

(1) 求a及k的值； (2) 求lim(

n??

1S1

?

1S2

?…?

1Sn

).

5． （2006，广东）已知公比为q(0?q?1)的无穷等比数列{an}各项的和为9，无穷等比

2

数列{an}各项的和为

815

.

（1） 求数列{an}的首项a1和公比q；

（2） 对给定的k(k?1,2,3,…,n)，设T(k)是首项为ak，公差为2ak?1的等差数列.

求数列T(2)的前n项和；

（3） 设bi为数列T(i)的第i项，Sn?b1?b2?…?bn，求Sn，并求正整数m(m?1)，

使得lim

n??

Snn

m

存在且不等于零.

5