工程数学学习方法
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工程数学学习方法篇一：工程数学教学大纲
工程数学课程教学大纲
课程编号： 150xxx
课程性质： 学科基础课先修课程：高等数学总学时数： 64 学 分：64 适合层次： 本科适合专业：中英合作班
一、课程的目的与任务
本课程第一部分讲授复变函数与积分变换。通过本课程的学习，学生不仅能够学到复变函数与积分变换的基本理论和数学物理及工程技术中常用的数学方法，同时还可以巩固和复习高等数学的基础知识，提高数学素养，为学习有关的后续课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
本课程第二部分讲授概率论与数理统计。概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律性的数学学科，是普通高等院校本科各专业教学计划中的一门重要必修学科基础课。通过本课程的教学，应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。
二、理论教学内容与教学基本要求
（一） 复数
1理解复数概念及几何表示； 2掌握复数的代数形式四则运算；
3理解复数的三角形式和指数形式，掌握乘幂与方根运算； 4了解复平面上曲线及区域。 （二） 解析函数
1 理解复变函数概念和基本初
3 理解复变函数的导数与解析的概念，掌握复变函数可导与解析之间的关系及求导法则； 4掌握柯西-黎曼方程，能利用柯西-黎曼方程判定复变函数的解析性。 （三） 复积分
1 理解复积分的概念及基本性质，掌握复积分的计算方法，理解复积分的物理意义； 2 理解柯西-古萨基本定理及推广复合闭路定理；
3了解复变函数的原函数存在定理及牛顿-莱布尼兹公式；
4掌握柯西积分公式及高阶导数公式，能运用柯西积分理论计算沿闭曲线的复积分。 （四） 级数
1 了解复数项级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛概念；
2 理解幂级数的概念及Abel定理，掌握幂级数收敛半径求法、幂级数的性质；
3理解泰勒展开定理，掌握函数展开成幂级数（泰勒级数）的直接展开法和间接展开法，能比较熟练地将一些解析函数在指定点展开成幂级数（泰勒级数）；
4掌握双边幂级数概念和性质，理解洛朗展开定理，掌握函数展开成洛朗级数的间接展开法，能熟练地将一些解析函数在不同圆环内展开成洛朗级数。
（五）留数
1 理解孤立奇点的定义、分类及特征，掌握零点与极点的关系；
2 理解留数概念，掌握计算留数的一般方法，熟练掌握极点处留数的求法； 3了解应用留数定理计算复积分。 （六） Fourier 变换
1 了解周期函数的Fourier级数形式，离散频谱；
2了解Fourier积分、Fourier变换及其逆变换的概念，掌握一些常用函数的Fourier变换的求法；
3理解信号的连续频谱，理解单位脉冲函数的概念及性质；
4了解 Fourier变换的性质及卷积定理，能利用Fourier变换的性质求函数的Fourier变换及其逆变换，并能应用Fourier变换解某些积分方程。
（七）Laplace变换
1 了解Laplace变换的概念及与Fourier变换的联系与区别，理解Laplace变换及其逆变换的概念，熟悉Laplace变换存在定理，掌握一些基本函数的Laplace变换；
2 掌握Laplace变换的性质及卷积定理，熟练运用Laplace变换的性质求函数的Laplace变换及逆变换；
3了解反演积分公式，熟练掌握用留数求Laplace逆变换的方法；
4 熟练掌握应用Laplace变换解常系数线性微分方程的方法，掌握某些积分方程的Laplace变换解法。
（八） 随机事件及其概率
1．理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握随机事件之间的关系与运算； 2．理解事件的频率的概念，了解频率的稳定性（统计规律性）的含义及概率的统计定义； 3．理解概率的古典定义，会计算简单的古典概率（古典概型与几何概型）；
4．掌握概率的基本性质及概率加法定理；
5．理解条件概率的概念，掌握概率乘法定理，掌握全概率公式，了解贝叶斯公式； 6．理解事件的独立性概念，掌握利用事件独立性计算概率的方法； 7．理解独立重复试验的概念，掌握二项概率的计算。 （九） 随机变量及其分布
1．理解随机变量的概念、离散型随机变量及其概率函数（概率分布表）的概念与性质、连续型随机变量及其概率密度的概念和性质；
2．理解随机变量的分布函数的概念与性质，会利用概率分布计算有关事件的概率； 3．掌握“0-1”分布、二项分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布， 了解这些分布的背景与应用；
4．会求随机变量函数的概率分布。 （十）随机变量的数字特征
1．理解随机变量的数学期望、方差与标准差的概念，掌握它们的性质与计算；
2．掌握“0-1”分布、二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布的数学期望与方差，了解超几何分布、均匀分布的数学期望与方差；
3．会求随机变量函数的数学期望；
4．了解原点矩与中心矩的概念及其性质与计算。 （十一）数理统计的基本知识
1．理解总体、样本及统计量的概念； 2．了解样本分布函数，了解直方图的作法；
3．掌握样本均值、样本方差及样本二阶中心矩的计算；
4．了解?分布、t分布的定义及性质，了解分位数的概念并会查表计算； 5．了解正态总体的某些常用统计量的分布。 （十二）参数估计
1．理解参数的点估计的概念，掌握矩估计法与最大似然估计法； 2．理解估计量的无偏性的概念，了解估计量的有效性、一致性的概念； 3．理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值及方差的置信区间。 （十三）假设检验
1．理解假设检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两种错误； 2．掌握单个正态总体的均值与方差的假设检验。 三、学时分配
2
四、使用教材
[1] 胡正发，李立安，张华培 复变函数与积分变换 同济大学出版社，2015年 。 [2] 沈恒范 概率论与数理统计教程（第四版） 高等教育出版社，2003年． 五、参考书目
[1] 李红 谢松法编 复变函数与积分变换 高等教育出版社，2011年。
[2] 沈恒范 概率论与数理统计教程（学习辅导与习题选解） 高等教育出版社，2003年．
制订人：李立安2016年5月制订
工程数学学习方法篇二：数学工程问题
行程问题
一、一般行程问题
1、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的高速公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。
2、从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B骑自行车从甲地出发，结果同时到达。已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度。
3、某中学到离学校15千米的某地旅游，先遣队和大队同时出发，行进速度是大队的1.2倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作。求先遣队和大队的速度各是多少？
4、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。
5、甲乙两地相距360千米，新修的高速公路开通后，在甲乙两地间行驶的长途客运车平均车速提高了50%，而从甲到乙的时间缩短了2小时，求原来的平均速度。
6、八年级（1）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区到学校120千米，一部分学生乘慢车先行，出发1小时后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达，已知快车速度是慢车的1.5倍，求慢车的速度。
7、我部队到某桥头狙击敌人，出发时敌人离桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队的速度。
二、水航问题
8、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。
三、工程问题
9、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一台乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？
10、A做90个零件所需要的时间和B做120个零件所用的时间相同，又知每小时A、B两人共做35个机器零件。求A、B每小时各做多少个零件。
11、某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有到位，只好先用人工装运，6小时后完成一半，后来机械装运和人工同时进行，1小时完成了后一半，如果设单独采用机械装运X小时可以完成后一半任务，那么应满足的方程是什么？
12、某市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成了任务，实际每天铺设多长管道？
13、某车间加工1200个零件后，采用新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前后每时分别加工多少个零件？
四、利润（成本、产量、价格、合格）问题
14、两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000Kg和15000Kg,已知第一块试验田的每公顷的产量比第二块少3000Kg，分别求这块试验田每公顷的产量。
15、某工厂去年赢利25万元，按计划这笔赢利额应是去、今两年赢利总额的20%，今年的赢利额应是多少？
16、某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨，已知现在采煤33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同，问现在平均每天采煤多少吨。
17、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售，为了不亏本，降价幅度不
得超过d%，请用p表示d。
18、某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完，在这两笔生意中，商厦共赢利多少元。
19、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下（包括300枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元， 这个八年级的学生总数在什么范围内？
若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？
20、某质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检查，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂的合格率乙厂高5%，求甲厂的合格率？
21、某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方水费上涨1/3，小利家去年12月的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元，已知小利家今年7月的用水量比去年12月份的用水量多5立方米，求该市今年居民的用水的价格。
22、小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的价格比文学书的价格高出一半，因此他们买的文学书比科普书多一本，这种科普和文学书的价格各是多少？
23、甲种原料和乙种原料的单价比是2：3，将价值2000元的甲种原料有价值1000元的乙混合后，单价为9元，求甲的单价。
24、某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%，求这种服装的成本价。
25、某商店甲种糖果的单价为每千克20元，乙种糖果的单价为每千克16元，
为了促销，现将10千克的乙种糖果和一包甲种糖果混合后销售，如果将混合后的糖果单价定为每千克17.5元，那么混合销售与分开销售的销售额相同，这包甲糖果有多少千克？
五、开放性新题型
26、某农场原有水田400公顷，旱田150公顷，为了提高单位面积产量，准备把部分旱田改为水田，改完之后，要求旱田占水田的10%，问应把多少公顷旱田改为水田。
27、某人沿一条河顺流游泳l米，然后逆流游回出发点，设此人在静水中的游泳速度为xm/s,水流速度为nm/s,求他来回一趟所需的时间t。
（1）小芳在一条水流速度是0.01m/s的河中游泳，她在静水中游泳的速度是0.39m/s,而出发点与河边一艘固定小艇间的距离是60m,求她从出发点到小艇来回一趟所需的时间。
（2）志勇是小芳的邻居，也喜欢在该河中游泳，他记得有一次出发点与柳树间来回一趟大约用了2.5min，假设当时水流的速度是0.015m/s，而志勇在静水中的游泳速度是0.585m/s，那么出发点与柳树间的距离大约是多少？
28、为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额相等，如果设第一次捐款人数X人，那么X应满足怎样的方程？
29、某单位将沿街的一部分房屋出租，每年房屋的租金第二年比第一年要多500元，所有房屋的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元，
你能找出这一情景中的等量关系吗？
你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗？
根据这一情景你能提出那些问题？
工程数学学习方法篇三：数学方法在土木工程中的应用
数学理论在土木工程中的应用
摘要: 在土木工程中，我们应用的很多公式，都是建立在数学理论的基础上推导而得。本文介
绍了最小二乘法在拟合曲线中的应用；矩阵在计算张量中应用；微分方程在建立平衡微分方程中的应用。通过这些介绍，使我们能够更好的了解数学理论的重要性。
[2]
[4]
[6]
关键词：最小二乘法；矩阵；微分方程；弹塑性力学；土木工程
Abstract: In civil engineering, we applied formulas are based on the mathematical theory of
derivation derived. This article describes the application of the least squares method of cure- fitting; matrix used in calculating tensor; differential equations in establishing equilibrium a- pplications. Through these presentations, so that we can better know the importance of the mathematical theory.
Key words: least squares; matrix; differential equations; elastic-plastic mechanics;civil engineering
0 前言
数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用，可以理解为人类逻辑性训练的必要。它的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。今日，数学被使用在世界不同的领域上，包括科学、工程、医学和经济学等。数学对这些领域的应用通常被称为应用数学，有时亦会激起新的数学发现，并导致全新学科的发展。数学家也研究纯数学，也就是数学本身，而不以任何实际应用为目标。虽然许多以纯数学开始的研究，但之后会发现许多应用。
在土木工程中，很多学科原理的推导都是建立在数学基础上，推导出的结果，使我们能够更好地解决工程实际问题，同时实际问题又会促进数学的发展和改革。
需要我们把数据进行量化，建立各个参数之间的关系曲线，而最小二乘法在曲线拟合方面简单，快捷，准确性满足工程实际要求。
研究土体电阻率与饱和度的关系，得到一组数据[3]（见表1）
表1 饱和度和电阻率数据 Table1 Saturation and resistivity data 饱和度Sr （xi）
0.10 0.22 0.40 0.51 0.65 0.82 0.89 1.00
通过描点画图(见图1)，
电阻率? (??m) (yi)
620 205 164 83 25 23 21 20
1 最小二乘法建立函数曲线的应用
在土木工程实验中，为了揭示某些相关量之间的关系,找出其规律,往往需要求解其函数解析式，常通过实验得到一组数据，
(x0,y0),(x1,y1),??? ,(xm,ym)，寻求反映客观事物变
化规律的函数关系y?f(x)的最佳近似表示式[1]
y?s(x)。在做岩土工程试验时，我们会得到一
?
系列的数据，这些数据之间有什么关系？能反应什么问题？以及如何应用？遇到这些问题时，就
弹塑性力学是固体力学发展较早、且在实践中得到广泛应用的一个分支，是研究弹性与塑形物体变性规律的一门学科。它推理严谨、计算结果准确，是分析和解决工程技术问题的基础和依
据，是土木工程专业的学生必学科目。
在弹塑性力学由一点的应力分量为实数，应力张量为实对称张量，可知物体内任意一点的应力矩阵为实对称矩阵。根据线性代数中有关实对称矩阵对角形的有关定理和特征根、特征向量的性质，可确定应力主轴的存在。因此求一点的主应力问题就转化成求一点的应力矩阵的特征值和特征向量的问题。 推导过程如下[4]：
设应力张量?ij的特征值为?，特征向量为u，
E为单位矩阵，根据线性代数的知识有下式成立
(?ij
图1 土的电阻率与饱和度关系曲线 Fig1 Relationship between soils resistivityand its
satuation degree
根据其关系曲线我们可以推导出其经验公式为 y?ax，用y?ax进行曲线拟合，步骤如下：对y?ax两边取对数得：
-b-b
-b
lny?lna-blnx
令u?lny, A=lnav=lnx，则得，
u?A-bv
由表1中数据计算出表2数据，如下：
表2关系换算数据 Table2 Relations translated data
??E)?u?0
（1）
v
-2.3026 -1.5141 -0.9163 -0.6733 -0.4308 -0.1985 -0.1165 0.0000
u
6.4297 5.3230 5.0999 4.4188 3.2189 3.1355 3.0445 2.9957
上式有非零解的充分必要条件是
展开有
det?(ij
??E)?0
?3?J1(?)?2?J2(?)??J3(?)?0（2）
其中
J1(?)??11??22??33
J2(?)??(?11?22??22?33??33?11)
222 ?(?12??23??31)
（3）
现在可以用直线s1?A?bv拟合上述数据，得
A?2.985b?1.58 9
-1.589
于是a?19.787，y?19.787x
通过图1和拟合曲线函数可知，电阻率与饱和度呈幂函数关系,前者随后者增加而减小。当饱和度较小、土样处于干燥状态时，电阻率很高,饱和度的变化对电阻率影响很大。随着饱和度的增加，关系曲线出现拐点，电阻率变化趋于平缓。当土样趋于饱和时，电阻率无明显变化。
J3(?)??11?22?33?2?12?23?31
222
??11?32??22?31??33?12
简单表示为
J1(?)??ii?tr?
1
4 ） (?ii?jj??ij?ji)（
2
J3(?)?det(?)
J2(?)?
上式中的J1、J2、J3称为应力张量的三个不变分量。将它们带入式（3），解一元三次方程得到三个实根，就是所求应力矩阵的特征值，即主应力。相对于每个特征值的特征向量则为应力矩阵
2 矩阵特征值和特征向量在弹塑性
力学中的应用
的三个主向，也就是主应力方向。知道了一点的主应力后，该点的应力状态可用主应力张量表示。取主平面为三个坐标面，有
设作用于左面的正应力?x，则作用于右面的正应力，由于x坐标的改变，将是
?x?
??x?x
dx?
1??x2?x
22
??ij?0?
??0
??1
?2
0?
0?? （5） ?3??
dx????，略去二阶和二阶以
2
上的微量后便是???x?x
x
?
??x?x
dx（若?x
为常量，则
用主应力表示的应力张量的不变量如下
J1(?)??1??2??3
J2(?)??(
?1?2??2?3??3?1)6） J3(?)??1?2?3
推导完毕。
应力张量是描述变形物体内某点应力状态的一种二阶对称张量。已知土体某处应力张量，可以进行受力分析，再联合土体的边界条件，可以建立土体在力和边界下的数学模型，从而通过相关软件进行所求量的分析。
=0，而左右两面的正应力都应该是?x，这就
是均布应力情况）。同样，设设作用于左面的切应力?xy，则作用于右面的切应力，将是
?xy?
??xy?x
dx
；设上面的正应力和切应力分别是
?y和?yx，则下面的正应力和切应力分别是
?y?
??y?y
dy和?yx?
??yx?y
dy
；因为六面体是微小
3 微分方程在弹性力学中的应用
一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。定义式为f(x,y,y,???,y
[6]
叫做偏微分方程。
'
''
(n)
未知函数是一元)?0，
函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的
的，所以它在各面上所受的应力可以认为是均匀
分布，作用在对应面的小心。同理，六面体所受的体力，也可以认为是均匀分布，作用在它的体积的中心。
首先以通过中C并平行于z轴的直线为矩轴，立出力矩的平衡方程?Mc?0；
将上式两边除以dxdy，合并相同项，得到 在弹性力学中推导平面问题的平衡微分方程要用到微分方程，推导过程如下：
从物体上取出一个微小的正平行六面体，它在x和y方向的尺寸分别为dx和dy，图3。为了计算方便，它在z方向的尺寸取为一个单位长度。
[5]
轴为投影轴，列出投影的平衡方程?Fx?0：
(?x?(?yx
??x
dx)dy?1??xdy?1??x
??yx
?dy)dx?1??yxdx?1?fxdxdy?1?0?y
约简以后，两边除以dxdy，得
??x??yx
??fx?0 （7）
?x
?y
图2 受力假设[5] Fig2 Assuming the force
同理，由平衡方程?Fy?0，可得一个相似的微分方程。于是得出平面问题中应力分量和体力分量之间的关系，即平面问题中的平衡微分方程。
??x??yx
??fx?0 ?x?y??y?y
???xy?x
?fy?0
8）
平衡微分方程表示了区域内任一点的微分体的平衡条件，从而必须保证任一有限大部分和整个区域是满足平衡条件的。利用弹性力学，土木工程师可以对地震及其对建筑物的作用进行量化；研究断层动力学，进行地震预测。
4 小结
数学在人类文明的发展中起着非常重要的作用，数学推动了重大的科学技术进步，为人类生产和生活带来的巨大的效益，是一种应用最广泛、最直接、最及时、最富创造力和重要的实用技术。在学习土木工程专业时，数学理论和应用一直伴随着我们的学习和工作，可以说数学的理论的发展是土木工程发展的前提和基础。在学习中，我们应用的很多公式，都是建立在数学理论的基础上推导而得。如土力学力学习中我们会应用到高数和线性代数知识，在挑选试验数据的时候，我们会应用的概率论和数理统计知识。总之，通过学习数学而培养的理性思维，是我们能够做施工和研究的强大后盾。
参考文献
[1]白玉山.计算方法[M].沈阳:辽宁人民出版社，1984.
[2]熊洪允.应用数学[M].天津大学出版社 [3]康辉平.土的电阻率与土工参数相关性实验研
究.福建省水利水电科学研究院
[4]杨伯缘.工程弹塑性力学[[M]. 机械工业出版社，2003
[5]徐芝纶.弹性力学简明教程[M].高等教育出版社，2002
[6]王福楹.高等数学[M].同济大学出版社.2002
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